CAPM by William Sharpe

SML의 수학적 도출(William Sharpe의 방법)

자본시장에 존재하는 개별자산 i와 시장포트폴리오(M)에 각각 w와 (1-w)의 비율로 투자한 포트폴리오를 p라고 하면 이 포트폴리오의 기대수익률과 표준편차는 다음과 같다.

_.이 때 포트폴리오 p는 아래의 그림에서 두 자산에 대한 투자비율의 변화에 따라 i와 M을 통과하는 곡선 XY상에 놓이게 되며, 곡선 XY는 M점에서 CML과 접하므로 M점에서는 곡선 XY의 기울기와 자본시장선의 기울기가 일치하여야 한다.

여기에서 곡선  XY의 기울기(위험과 기대수익률간의 한계변환율)는 자산 i와 시장포트폴리오에 대한 투자비율에 따라 달라지며, 자산 i에 대한 투자비율이 w일 때의 기울기는 다음과 같다.

 이제 곡선 XY의 M점에서의 기울기를 구하여 보자. 자본시장이 균형인 상태에서 M은 자산 i를 포함한 모든 위험자산을 시장가치의 비율대로 포함하고 있는 포트폴리오이다. 따라서 자산 i에 대한 추가적 투자는 초과수요를 의미하며, 시장이 균형인 상태에서는 초과수요가 존재할 수 없으므로M점에서의 기울기는 w가 0일 때의 기울기이므로 위 식에 w=0을 대입하여 정리하면

이다. 한편, 이 값은 CML의 기울기와 일치하여야 하므로 다음의 관계가 성립하여야 한다.

이제 위 식을 에 대하여 정리하면 다음과 같이 SML이 도출된다.